Question

14．方程$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$=x的解为{$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}．

Answer 1

分析 先求出x成立的条件，利用转化法，平方法，配方法转化为一元二次方程进行求解即可．

解答 解：由方程可得x＞0，同时要使根式有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}≥0}\\{1-\frac{1}{x}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}-1}{x}≥0}\\{\frac{x-1}{x}≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{x-1≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x≥1或x≤-1}\\{x≥1}\\{x＞0}\end{array}\right.$，即x≥1，
由$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$=x得$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$=x-$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$，
平方得1-$\frac{1}{x}$=x²-2x•$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+x-$\frac{1}{x}$，
即2x$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$=x²+x-1，
2$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$=x-$\frac{1}{x}$+1，
即x-$\frac{1}{x}$-2$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+1=0，
即（$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$）²-2$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+1=0，
即（$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$-1）²=0，
则$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$=1，
则x-$\frac{1}{x}$=1，即x²-x-1=0，
则x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∵x≥1，
∴x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：{$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}

点评 本题主要考查方程根的求解，利用转化法，转化为一元二次方程，是解决本题的关键．综合性较强．