Question

19．己知一个样本60，53，56，53，55，50，49，41，40，43的平均数为$\overline{x}$，标准差为s，且关于x的方程x²+ax+b=0的两根差的绝对值等于s，两根积的5倍等于$\overline{x}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 先求出平均数$\overline{x}$，标准差s，由此利用韦达定理结合已知条件能求出a，b的值．

解答 解：∵样本60，53，56，53，55，50，49，41，40，43的平均数为$\overline{x}$，标准差为s，
∴$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$（60+53+56+53+55+50+49+41+40+43）=50．
s²=$\frac{1}{10}$[（60-50）²+（53-50）²+（56-50）²+（53-50）²+（55-50）²+（50-50）²+]（49-50）²+（41-50）²+（40-50）²+（43-50）²]=41，
s=$\sqrt{41}$，
∵关于x的方程x²+ax+b=0的两根差的绝对值等于s，两根积的5倍等于$\overline{x}$，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{41}}\\{5{x}_{1}{x}_{2}=50}\end{array}\right.$，∴b=x₁x₂=10，
41=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=a²-40，
解得a=±9．

点评 本题考查一元二次方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、韦达定理的合理运用．