Question

9．已知x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
（1）求函数f（x）=sinx的值域；
（2）求函数g（x）=-3tan²$\frac{x}{2}$+4tan$\frac{x}{2}$-1的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的单调性得出最大值和最小值；
（2）求出tan$\frac{x}{2}$的范围，根据二次函数的单调性得出g（x）的最值．

解答 解：（1）∵f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上是减函数，
∴当x=-$\frac{π}{3}$时f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当x=$\frac{π}{2}$时f（x）取得最大值1．
∴f（x）的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
（2）g（x）=-3（tan$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{3}$．
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴$\frac{x}{2}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
∴tan$\frac{x}{2}$∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]．
∴当tan$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{3}$时，g（x）取得最大值$\frac{1}{3}$，当tan$\frac{x}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，g（x）取得最小值-2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正弦函数，正切函数的单调性，属于基础题．