Question

4．已知a₁=4，a_n+1=$\frac{{2a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$，则a_n=$\frac{1}{2-7•（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2），继而得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以-$\frac{7}{4}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{2a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$，
∴a_n+1+2a_n+1a_n=2a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+2=$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2），
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-2}{\frac{1}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=4，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-2=$\frac{1}{4}$-2=-$\frac{7}{4}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以-$\frac{7}{4}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=-$\frac{7}{4}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=-7×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴a_n=$\frac{1}{2-7•（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．

点评 本题考查了通过递推公式求数列的通项公式，关键是构造等比数列，属于中档题．