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    16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且该函数图象的一个最高点为（$\frac{5π}{12}$，4）．
    （1）求函数f（x）的解析式和单调增区间；
    （2）若f（x0）=2（x0∈（0，2π）），求x0的取值集合；
    （3）若对区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]内的任意实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜m成立，求实数m的取值范围．

    分析 （1）根据对称轴的距离得出周期，由最大值得出A，代入最高点坐标解出φ；
    （2）根据正弦函数的性质得出2x0-$\frac{π}{3}$的值，结合x0的范围解出x0；
    （3）求出f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上最大值与最小的差即可．

    解答 解：（1）∵f（x）的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
    ∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
    ∵f（x）的最高点纵坐标为4，∴A=4．
    ∵f（$\frac{5π}{12}$）=4，∴4sin（$\frac{5π}{6}+$φ）=4，
    ∴$\frac{5π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
    ∴f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
    令-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$．
    ∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．
    （2）∵f（x0）=4sin（2x0-$\frac{π}{3}$）=2，∴sin（2x0-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
    ∴2x0-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2x0-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}+2kπ$．即x0=$\frac{π}{4}+kπ$或x0=$\frac{7π}{12}+kπ$．
    ∵x0∈（0，2π）），
    ∴x0的取值集合为{$\frac{π}{4}$，$\frac{7}{12}$，$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$}．
    （3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
    ∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时f（x）取得最小值2，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时f（x）取得最大值4．
    ∴对区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]内的任意实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤2．
    ∴m的取值范围是（2，+∞）．

    点评 本题考查了三角函数的解析式和性质，属于中档题．

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