Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC+ccosB=-3acosB
（1）求角B的余弦值；
（2）若b=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，由条件利用正弦定理、诱导公式可得sinA=-3sinAcosB，由此求得cosB的值．
（2）由条件利用余弦定理、基本不等式求得 ac≤

9

8

．求出sinB的值，根据△ABC面积S=

1

2

ac•sinB，求得S的最大值．

解答： 解：（1）在△ABC中，由bcosC+ccosB=-3acosB，
利用正弦定理得sinBcosC+cosBsinC=-3sinAcosB，
即sin（B+C）=-3sinAcosB，即sinA=-3sinAcosB，求得cosB=-

1

3

．
（2）由b=

3

，利用余弦定理得 b²=3=a²+c²-2ac×cosB=a²+c²+

2

3

ac≥

8

3

ac，
∴ac≤

9

8

．
又sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

∴△ABC面积S=

1

2

ac•sinB≤

1

2

×

9

8

×

2 2

3

=

3 2

8

，
即△ABC面积的最大值为

3 2

8

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、基本不等式，属于基础题．