Question

已知甲、乙两地相距为s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度每小时不得超过70千米．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：固定部分为a元，可变部分与速度v（单位km╱h）的平方成正比，且比例系数为m．
（1）求汽车全程的运输成本y（以元为单位）关于速度v（单位km╱h）的函数解析式；
（2）为了全程的运输成本最小，汽车应该以多大的速度行驶？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过70千米/时．故定义域为v∈（0，70]．
（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论．

解答： 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s

v

，
全程运输成本为y=

s

v

（a+mv²）（0＜v≤70）；
（2）依题意，y=

s

v

（a+mv²）=

sa

v

+msv（0＜v≤70），
∴

a m

≤70时，v=

a m

，y_min=2s

am

；

a m

＞70时，y在区间（0，70〕单调递减，则v=70时，y_min=70sm+

sa

70

．

点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．