Question

已知函数f（x）=（x-1）e^x-ax²，其中a为常数．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，从而f′（x）=x（e^x-2），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，进而求出函数f（x）的单调区间，
（2）先求出函数f（x）的导数，由题意得到不等式组综合求出a的范围即可．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=x（e^x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴函数f（x）在（-∞，0）和（ln2，+∞）上递增，
在（0，ln2）上递减．
（2）∵f′（x）=x（e^x-2a），
①令f′（x）＞0，
则

x＞0 ex-2a＞0 ln2a＜0

，
解得：0＜a＜

1

2

，
②令f′（x）＜0，
则

x＞0 ex-2a＜0

，
解得：0＜x＜ln2a，不合题意，
经验a=0，a=

1

2

时符合题意，
综合①②得：0≤a≤

1

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的问题，对数函数及指数函数的性质，是一道综合题．