Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．四面体B₁-BCD的体积是2，求异面直线DB₁与CC₁所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：利用平行线法找到异面直线所成的角，∠DB₁B即异面直线DB₁与CC₁所成的角，然后放在三角形中计算．

解答： 解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁∥BB₁
所以∠DB₁B为异面直线DB₁与CC₁所成的角（或其补角）                      （3分）
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
VB1-BCD=

1

3

S_△BCD•B₁B=

1

3

×

1

2

×4×

3

2

B1B=2得BB₁=2                       （7分）
由点D是AB的中点得DB=

5

2

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中B₁B⊥BD
Rt△B₁BD中tan∠DB₁B=

BD

B1B

=

5 2

2

=

5

4

所以∠DB₁B=arctan

5

4

（或∠DB₁B=arccos

4

41

41

）
所以异面直线DB₁与BC₁所成的角为arctan

5

4

（或arccos

4

41

41

）             （12分）

点评：本题考查异面直线所成的角的计算，先作后求是基本方法．