Question

先阅读下列①、②两个问题，再解决后面的（Ⅰ）、（Ⅱ）两个小题：
①已知a₁，a₂∈R，且a₁+a₂=1，求证：a₁²+₂²≥

1

2

．
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2x+a₁²+a₂²，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂²≥

1

2

．
②同理可证若a₁，a₂，a₃∈R，且a₁+a₂+a₃=1，则a₁²+a₂²+a₃²≥

1

3

．
（Ⅰ）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，请写出上述结论的推广式；
（Ⅱ）参考上述证法，对你推广的结论加以证明．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,归纳推理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证a₁²+a₂²≥

1

2

，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，则a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

；
（Ⅱ）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

------------------（5分）
（Ⅱ）证明：构造函数
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=nx²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

（13分）

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）；（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．