Question

在平面直角坐标系下，曲线C₁：

x=2t+2a y=-t

（t为参数），曲线C₂：

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数）．若曲线C₁，C₂有公共点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线的参数方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：第一步：将曲线C₁，C₂的参数方程均化为普通方程；
第二步：由曲线C₁，C₂有公共点知，两方程有公共解，联立两方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，由△≥0即可得a的取值范围．

解答： 解：由

x=2t+2a y=-t

，消去参数t，整理得x=2a-2y，…①
由

x=2cosθ y=2+2sinθ

及cos²θ+sin²θ=1，消去参数θ，得x²+（y-2）²=4，…②
将①代入②中，消去x并整理得5y²-（8a+4）y+4a²=0，
由于曲线C₁，C₂有公共点，所以上面关于y的一元二次方程有实数解，
所以△≥0，即（8a+4）²-4×5×4a²≥0，
整理得a²-4a-1≤0，解得2-

5

≤a≤2+

5

．
故答案为2-

5

≤a≤2+

5

．

点评：1．本题也可以利用几何法求解，其思路是：化为普通方程后，由圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，解不等式即可．
2．对于两曲线的公共点问题，一般从几何和代数两方面考虑，两种方法各有其优缺点，代数方法具有一般性，但有时计算量比较大；几何方法计算量一般较少，但有时很难找到恰当的式子来表示图形的位置关系，应根据图形的几何特征具体对待．