Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上纵坐标为2的点到焦点的距离为3．
（1）求p的值；
（2）若A，B两点在抛物线上，满足

AM

+

BM

=

0

，其中M（2，2）．则抛物线上是否存在异于A，B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的定义，即可求p的值；
（2）确定M为AB的中点，设出直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，求出A，B的坐标．假设存在，求出圆心坐标之间的关系，利用抛物线L在点C处切线的切线与NC垂直，即可确定C的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线x²=2py（p＞0）上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，
∴

p

2

+2=3，
∴p=2；
（2）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

=

0

，可得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．
显然直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+2-2k，
将y=kx+2-2k代入x²=4y中，得x²-4kx+8（k-1）=0．
∴x₁+x₂=4k=4，∴k=1，
∴x²-4x=0，
∴A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|

，∴

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

，
解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

∵抛物线L在点C处切线的斜率为k=y′|_x=t=

t

2

，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即-2a+bt-2t-

1

4

t3=0．
将

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故满足题设的点C存在，其坐标为 （-2，1）．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线，考查学生的综合能力，难度较大．