Question

已知f（x）=

1

2

sin2x•cos

π

6

+

1

2

cos2xsin

π

6

（1）函数f（x）的最小正周期，及最大值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若f（

α

2

）=

1

2

，求sin（π+α）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式化简，进而根据正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据正弦函数的性质和图象求得函数的单调增区间．
（3）先根据题意求得α的值，代入sin（π+α）求得答案．

解答： 解：f（x）=

1

2

(sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

)=

1

2

sin(2x+

π

6

)，
（1）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，最大值为

1

2

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z，
（3）由f(

α

2

)=

1

2

得sin(α+

π

6

)=1，
所以α=

π

3

+2kπ，k∈z，
则sin(π+α)=-sin(

π

3

+2kπ)=-sin

π

3

=-

3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．