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    在（x2+x+1）n=D
     
    0
    n
    x2n+D
     
    1
    n
    x2n-1+D
     
    2
    n
    x2n-2+…+D
     
    2n-1
    n
    x+D
     
    2n
    n
    （n∈N）的展开式中，把D
     
    0
    n
    ，D
     
    1
    n
    ，D
     
    2
    n
    ，…，D
     
    2n
    n
    叫做三项式的n次系数列．
    （Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：
    三项式的2次系数列是
     
    ；
    三项式的3次系数列是
     
    ．
    （Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下

    ①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；
    ②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C
     
    n
    n+1
    =C
     
    n
    n
    +C
     
    n-1
    n
    ，类似的请用三项式的n次系数表示D
     
    k+1
    n+1
    （1≤k≤2n-1，k∈N）（无须证明）；
    （Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D
     
    3
    n
    ．
    考点：二项式系数的性质
    专题：综合题,二项式定理
    分析：（Ⅰ）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系数列．
    （Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
    （Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示
    解答： 解：（Ⅰ）∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
    ∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；
    ∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
    ∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
    （Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
                        1
                     1  1   1
                  1  2  3   2 1
                1 3  6  7   6 3  1
              1 4 10 16 19 16 10 4 1
    ②
    D
    k+1
    n+1
    =
    D
    k-1
    n
    +D
    k
    n
    +D
    k+1
    n
    （ 1≤k≤2 n-1 ）；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）②可得
    D
    2
    n-1
    =1+n-2+
    C
    2
    n-1
    =
    C
    2
    n
    ，
    ∵
    D
    1
    n-1
    =n-1=
    C
    1
    n
    -1，
    ∴由
    D
    3
    n
    =
    D
    1
    n-1
    +D
    2
    n-1
    +D
    3
    n-1
    得
    D
    3
    n
    -
    D
    3
    n-1
    =
    C
    2
    n+1
    -1
    n分别取3，4，…，n代入，累加可得
    D
    3
    n
    -
    D
    3
    2
    =
    C
    2
    4
    +
    C
    2
    5
    +
    C
    2
    n+1
    -（n-2）=
    C
    3
    n+2
    -（n+2），
    ∵
    D
    3
    2
    =2，
    ∴
    D
    3
    n
    =
    C
    3
    n+2
    -
    C
    1
    n
    ．
    点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．
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    1
    2
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    π
    6
    +
    1
    2
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    π
    6

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    α
    2
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    1
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    1
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    1
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    		3
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    ．

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