Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在曲线y=x²-11x上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

an+12

2n+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，若2T_n＞m-2对n∈N^*恒成立，求最大正整数m的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件知Sn=n2-11n，由此能求出an=2n-12，n∈N*．
（Ⅱ）b_n=

an+12

2n+1

=

(2n-12)+12

2n+1

=

n

2n

，由此利用错位相减法求出Tn=2-

2+n

2n

，再利用数列{T_n}单调递增，能求出正整数m的最大值为2．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（n，S_n）在曲线y=x²-11x上，
∴Sn=n2-11n，
当n=1时，a₁=S₁=1-11=-10．（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-11n）-[（n-1）²-11（n-1）]=2n-12，（4分）
当n=1＜0时也满足上式，
故an=2n-12，n∈N*．（6分）（未验算减1分）
（Ⅱ）b_n=

an+12

2n+1

=

(2n-12)+12

2n+1

=

n

2n

，（7分）
Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴∴Tn=2-

2+n

2n

．（9分）
∵T_n+1-T_n=（2-

2+n+1

2n+1

）-（2-

2+n

2n

）=

n+1

2n+1

＞0，
∴数列{T_n}单调递增，T₁最小，最小值为：2-

3

2

=

1

2

．（10分）
∴2×

1

2

＞m-2，解得m＜3．（11分）
故正整数m的最大值为2．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查正整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．