Question

对于函数f（x）=

sinπx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，有下列4个命题：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N^*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；
④对任意x＞0，不等式f（x）≤

2

x

恒成立．
则其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：作出f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的图象，利用图象可得结论．

解答： 解：f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的图象如图所示：
①f（x）的最大值为1，最小值为-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正确；
②f（

1

2

）=2f（

1

2

+2）=4f（

1

2

+4）=8f（

1

2

+6）≠8f（

1

2

+8），故不正确；
③如图所示，函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；
④对任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，则实数k的取值范围是（

9

8

，+∞），结合图象，可得④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．