Question

P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线BD₁上的一点，且BP=λBD₁（λ∈（0，1））．下面命题正确的为：

 

（写出所有正确结论的序号）：
①A₁D⊥C₁P；     
②若BD₁⊥平面PAC，则λ=

1

3

；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，

1

2

）；
④若λ∈（0，

1

2

），则△PAC为锐角三角形．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：画出图形，直接判断①A₁D⊥C₁P的正误；
利用正方体的特征，判断②若BD₁⊥平面PAC，则λ=

1

3

的正误；
通过λ=

1

2

，判断△PAC是否为钝角三角形，判断λ∈（0，

1

2

）的正误；
通过建立空间直角坐标系，判断④λ∈（0，

1

2

），则△PAC为锐角三角形，判断④的正误．

解答： 解：如图①中，A₁D⊥面ABC₁D₁，C₁P?面ABC₁D₁ ∴A₁D⊥C₁P  故①正确；
对于②若BD₁⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB₁C中，则λ=

1

3

；②正确；
对于③，当P为BD₁的中点时，若△PAC为钝角三角形，设正方体棱长为a，PA=PC=

3

2

a，AC=

2

a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，

1

2

），③不正确；
对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
∴

BD1

=（-1，-1，1），

BP

=λ

BD1

=（-λ，-λ，λ），

PA

=

PB

+

BA

=（λ，λ-1，-λ），

PC

=

PB

+

BC

=（λ-1，λ，-λ）
显然∠APC不是平角，所以∠APC为锐角等价于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

︳ PA ︳| PB |

＞0，则等价于

PA

•

PC

＞0
即，λ（λ-1）+（λ-1）λ+（-λ）（-λ）=λ（3λ-2）＞0，

2

3

＜λ＜1，④不正确；
故答案为：①②．

点评：本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．