Question

已知数列{a_n}，a₁=2，a_n+1=

n+2

n

a_n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜测通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用已知条件通过n=1，2，3即可求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）a₁，a₂，a₃，a₄；猜想数列{a_n}的通项公式，利用用数学归纳法的证明步骤在证明即可．

解答： 解：（1）由a₁=2，a_n+1=

n+2

n

a_n，（n∈N^*）．
所以a₂=

1+2

1

×2=6，…（2分）
同理a₃=

2+2

2

×6=12，a₄=

3+2

3

×12=20…（4分）
（2）猜想a_n=n（n+1）…（6分）
证明：①当n=1时，猜想成立．…（7分）
②设当n=k时（n∈N^*）时，猜想成立，即a_k=k（k+1），…（8分）
则当n=k+1时，有a_k+1=

k+2

k

•ak=

k+2

k

•k(k+1)=（k+1）（k+2），…（12分）
所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②，猜想对任何n∈N^*都成立      …（14分）

点评：本题考查归纳推理，数学归纳法的证明步骤的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．