Question

给定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n，满足以下条件：
①当i，j∈A_n且i≠j时，f（i）≠f（j）；
②任取x∈A_n，若x+f（x）=7有K组解，则称映射f：A_n→A_n含K组优质数，若映射f：A₆→A₆含3组优质数．
则这样的映射的个数为

 

．

Answer 1

考点：映射

专题：函数的性质及应用

分析：先根据条件推断出映射f：A₆→A₆含优质数的x与f（x）的对应关系，再利用排列与组合的有关知识即可得出．

解答： 解：由题意可得：映射f：A₆→A₆含优质数时x与f（x）的对应关系如下：

x	1	2	3	4	5	6
f（x）	6	5	4	3	2	1

若使映射f：A₆→A₆含3组优质数．则可从上表中任意选取三组对应数，而让另四组不对应．
例如：取1→6，2→5，3→4，而要求4不能与3对应，5不能与2对应，6不能与1对应，共有2种情况（4→2，5→1，6→3或4→3，5→1，6→2）．
而从表中任选3组对应数为

∁

3 6

=20．
∴这样的映射个数为2×20个，即40个．
故答案为：40．

点评：本题考查了映射的意义、排列与组合的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．