Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=0，对任意n∈N^*，都有na_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n+log₂n=log₂b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，从而得到数列{a_n}是以a₁=0为首项，公差为2的等差数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=n•2an=n•4^n-1，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）当n≥2时，na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），…（1分）
两式相减得na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+n（n+1）-n（n-1），…（3分）
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，得a_n+1-a_n=2．…（5分）
当n=1时，1×a₂=S₁+1×2，即a₂-a₁=2．…（6分）
∴数列{a_n}是以a₁=0为首项，公差为2的等差数列．
∴a_n=2（n-1）=2n-2．…（7分）
（2）∵a_n+log₂n=log₂b_n，
∴bn=n•2an=n•2^2n-2=n•4^n-1．…（9分）
∴Tn=40+2×4+3×42+…+n•4n-1，①
4T_n=4+2×4²+3×4³+…+n•4ⁿ，②…（11分）
①-②得-3T_n=4⁰+4+4²+…+4^n-1-n•4ⁿ
=

1-4n

1-4

-n•4n
=

(1-3n)•4n-1

3

．…（13分）
∴Tn=

1

9

[(3n-1)•4n+1]．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．