Question

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-1）=0，则不等式f（x）•g（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：构造函数m（x）=f（x）•g（x），根据导数和函数单调性之间的关系，判断函数m（x）的单调性，结合函数的奇偶性的性质即可得到结论．

解答： 解：设m（x）=f（x）•g（x），
∵x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即[f（x）g（x）]′＞0
故m（x）在x＜0时递增，
∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴m（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，
∴m（x）的图象关于原点对称，
即m（x）在x＞0时也是增函数．
∵g（-1）=0，∴g（1）=0，
∴m（-1）=0且m（1）=0，则函数m（x）对应的草图为
则m（x）＞0的解集为：x＞1或-1＜x＜0．
故不等式的解集为{x|x＞1或-1＜x＜0}，
故答案为：{x|x＞1或-1＜x＜0}

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，根据导数的正负可以确定函数的单调性，利用数形结合的思想进行解题．属于中档题．