Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量

a

=（

Sn

，1），

b

=（a_n+1，2）（n∈N^*）满足

a

∥

b

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为b_n=

an

an+t

（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（3）如果等比数列{c_n}满足c₁=a₁，公比q满足0＜q＜

1

2

，且对任意正整数k，c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是该数列中的某一项，求公比q的取值范围．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用

a

∥

b

，

a

=（

Sn

，1），

b

=（a_n+1，2），可得2

Sn

=a_n+1，即4S_n=（a_n+1）²，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定b_n=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

，利用b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，建立等式，即可求t和m的值；
（3）先确定c_k-（c_k+1+c_k+2）=q^k-1（1-q-q²）是该数列中的某一项，可得1-q-q²是q的几次方形式，从而可求公比q的取值范围．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=（

Sn

，1），

b

=（a_n+1，2），
∴2

Sn

=a_n+1，
∴4S_n=（a_n+1）²，①
n=1时，a₁=1；
n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，②
①-②可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1；
（2）b_n=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

，
∵b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，
∴2×

3

3+t

=

1

1+t

+

2m-1

2m-1+t

，
∴m=3+

4

t-1

，
∵m，t都是正整数，
∴t=2，3，5，m=7，5，4；
（3）c_n=q^n-1，
∵c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是该数列中的某一项，
∴c_k-（c_k+1+c_k+2）=q^k-1（1-q-q²）是该数列中的某一项，
∴1-q-q²是q的几次方形式，
∴0＜q＜

1

2

，
∴

1

4

＜1-q-q²＜1，
∴1-q-q²=q，
∴q=

2

-1．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．