Question

圆C与y轴切于点（0，2），与x轴正半轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3．
（1）求圆C的方程；
（2）过点M任作一直线与圆O：x²+y²=4相交于A，B，连接AN，BN，求证：k_AN+k_BN=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设圆的圆心为（a，2），则半径为a，根据|MN|=3，圆心C到弦MN的距离为2，求得r=a=

5

2

，从而可以写出圆的标准方程．
（2）设AB：x=ty+1，代入x²+y²-4=0，得：（t²+1）y²+2ty-3=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明k_AN+k_BN=0．

解答： （1）解：由已知可设C（a，2）（a＞0），圆C的半径r=a，
又∵|MN|=3　
圆心C到弦MN的距离为2，
故r2=d2+(

|MN|

2

)2=4+

9

4

=

25

4

，
∴a=r=

5

2

，（4分）
∴圆C的方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

．
（2）证明：设AB：x=ty+1，代入x²+y²-4=0，
并整理得：（t²+1）y²+2ty-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y1+y2=- 2t t2+1 y1y2= -3 t2+1

，
k_AN+k_BN=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

y1

ty1-3

+

y2

ty2-3

=

2ty1y2-3(y1+y2)

(ty1-3)(ty2-3)

=0．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查两直线的斜率和为零的证明，解题时要认真审题，注意点到直线距离的合理运用．