Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=

3

．
（1）求证：AB⊥平面BCF；
（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM²+EM²=3=AE²，进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF．
（2）先证明出∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．

解答： （1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，
∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴EF∥AB，即EF∥MB．
∵EF=MB=1
∴四边形EMBF是平行四边形．
∴EM∥FB，EM=FB．
在Rt△BFC中，FB²+FC²=BC²=4，又FB=FC，得FB=

2

．
∴EM=

2

．
在△AEM中，AE=

3

，AM=1，EM=

2

，
∴AM²+EM²=3=AE²，
∴AM⊥EM．
∴AM⊥FB，即AB⊥FB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC．
∵FB∩BC=B，FB?平面BCF，BC?平面BCF，
∴AB⊥平面BCF．
（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，
取BC的中点H，连接OH，EO，FH，
则OH∥AB，OH=

1

2

AB=1．
由（1）知EF∥AB，且EF=

1

2

AB，
∴EF∥OH，且EF=OH．
∴四边形EOHF是平行四边形．
∴E0∥FH，且EO=FH=1．
由（1）知AB⊥平面BCF，又FH?平面BCF，
∴FH⊥AB，
∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH?平面ABCD，BC平面ABCD，
∴FH⊥平面ABCD．
∴E0⊥平面ABCD．
∵AO?平面ABCD，
∴EO⊥AO．
∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO?平面EBD，BD平面EBD，
∴AO⊥平面EBD．
∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=

2

．
∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为

2

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，二面角的求法．解题的关键是找到二面角的平面角．