【题目】已知数列的前项和为,满足,,数列满足,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等差数列,求数列的通项公式;
(3)若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)见证明; (3)
【解析】
(1)根据数列的通项公式与前n项和之间的关系,求得,得到数列为首项,公比的等比数列,即可求解.
(2)由,化简得,得到数列为首项为,公差为的等差数列,求得,即可求解.
(3)由(2)得,利用乘公比错位相减法,求得,再由(1)得,又由对,都有恒成立,得恒成立,即可求解.
(1)由题意,当时,,所以,
当时,,,
两式相减得,又,所以,
从而数列为首项,公比的等比数列,
从而数列的通项公式为.
(2)由两边同除以,得,
从而数列为首项,公差的等差数列,所以,
从而数列的通项公式为.
(3)由(2)得,
于是,
所以,
两式相减得,
所以,
由(1)得,
因为对,都有,即恒成立,
所以恒成立,
记,所以,
因为,从而数列为递增数列,
所以当时,取最小值,于是.
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【题目】某校高二文科分四个班,各班人数恰好成等差数列,高二数学调研测试后,对四个文科班的学生试卷按每班人数进行分层抽样,对测试成绩进行统计,人数最少的班抽取了人,抽取的所有学生成绩分为组:,,,,,,得到如图所示的频率分布直方图,其中第六组分数段的人数为人.
()求的值,并求出各班抽取的学生数各为多少人?
()在抽取的学生中,任取一名学生,求分数不小于分的概率(视频率为概率).
()估计高二文科四个班数学成绩的平均分
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【题目】已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为 .
(1)求a,b;
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.
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【题目】如图,在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3, DC=2.
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大小;
(2)若∠ABC= ,求△ADC的面积.
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【题目】如图梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出四个结论:①DF⊥BC;
②BD⊥FC;
③平面DBF⊥平面BFC;
④平面DCF⊥平面BFC.
则在翻折过程中,可能成立的结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】(本题满分12分)袋中装有黑色球和白色球共7个,从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的,用X表示摸球终止时所需摸球的次数.
(1)求随机变量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
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【题目】已知圆C的圆心坐标且与线y=3x+4相切,
(1)求圆C的方程;
(2)设直线与圆C交于M,N两点,那么以MN为直径的圆能否经过原点,若能,请求出直线MN的方程;若不能,请说明理由.
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【题目】某超市随机选取位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
√ | × | √ | √ | |
× | √ | × | √ | |
√ | √ | √ | × | |
√ | × | √ | × | |
85 | √ | × | × | × |
× | √ | × | × |
(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率;
(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
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