Question

【题目】已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1），则不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（ ）

A.（﹣1，1）∪（1，4）B.（﹣1，1）∪（1，3）

C.（，1）∪（1，2）D.（，1）∪（1，）

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用已知条件，结合函数的性质，构造函数g(x)，通过函数的导数判断函数的单调性，然后转化求解即可得解．

定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，导函数为f′(x)．

当x>1时，2f(x)+(x-1)f′(x)>0，且f(-1)，

令g(x)=(x-1)2f(x)，则g′(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f′(x)=(x-1)[2f(x)+(x-1)f′(x)]，

所以当x>1时，g′(x)>0，且g(-1)=g(3)=6，

结合函数的图象，可知不等式f(x)<6(x-1)﹣2的解集为(-1,1)∪(1,3)．

故选：B．