Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最大值；

（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）6;（Ⅲ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；（Ⅱ）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；（Ⅲ）构造函数=，只需证明函数有唯一零点即可.

试题解析：（Ⅰ）由，得 ,

所以，又

所以曲线在点处的切线方程为： ，即： .

（Ⅱ）令，得.

与在区间的情况如下：

	-	0	+
		极小值

因为 所以函数在区间上的最大值为6.

（Ⅲ）证明：设=，

则，

令，得.

与随x的变化情况如下：

				1
		0		0
		极大值		极小值

则的增区间为， ，减区间为.

又， ，所以函数在没有零点，又，

所以函数在上有唯一零点.

综上，在上存在唯一的，使得.