Question

（本题满分14分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，且在处取得极小值。
（1）求的解析式；
（2）已知函数定义域为实数集，若存在区间，使得在的值域也是，称区间为函数的“保值区间”．
①当时，请写出函数的一个“保值区间”（不必证明）；
②当时，问是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”并给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，                        
∴                             ……  1 分
由                      …… 4 分
∴，      令，解得，
当变化时，,的变化情况如下表：

				1
		0		0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴当时，取得极小值。                                  
所以，。                                    ……  5 分
（２） ①                                       ……  7 分
②由（１）得，
假设当x>1时，存在“保值区间”:［m,n］(n>m>1)。
因为当x>1时，所以在区间是增函数，
依题意,
于是问题转化为有两个大于1的根。            …… 9 分
现在考察函数
则令
又∵
∴１<                                               
当变化时，,的变化情况如下表：

	(1,)
	－	0	＋
	单调递减	极小值	单调递增

 所以，在在(1,) 上单调递减, 在上单调递增。         …… 12 分
于是，,
又因为
所以，当时，的图象与轴只有一个交点，               ……  13 分
即方程有且只有一个大于1的根，与假设矛盾。
故当x>1时，不存在“保值区间”。                         ……  14 分
（２）解法2：由（１）得，
② 假设当x>1时，存在“保值区间”:［m,n］(n>m>1)。
因为当x>1时，所以在区间是增函数，
依题意,
于是问题转化为方程，即有两个大于1的根。…… 9 分
考察函数=(),与函数().
当x>1时，，
所以
而函数在区间               …… 12 分
又因为  所以，
因此函数=()的图象与函数()的图象只有一个交点。
……  13分
即方程有且只有一大于1的根，与假设矛盾。
故当时，不存在“保值区间”         

略