Question

18．计算${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx+${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx．

Answer 1

分析 先计算${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx=${∫}_{2}^{5}$（x-2）dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{1}^{π}$sinxdx-${∫}_{π}^{5}$sinxdx的积分，再根据定积分的几何意义，${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx，表示以（1，0）为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决．

解答 解：${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx=${∫}_{2}^{5}$（x-2）dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{1}^{π}$sinxdx-${∫}_{π}^{5}$sinxdx=（$\frac{1}{2}$x²-2x）|${\;}_{2}^{5}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$-cosx|${\;}_{1}^{π}$+cosx${|}_{π}^{5}$=5+2+cos1+cos5=7+cos1+cos5
∵${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx，表示以（1，0）为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$×π×2²=π，
∴${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx+${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=7+cos1+cos5+π

点评 本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于中档题．