Question

10．若f（x）=2sin²ωx+sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）对任意实数x都有f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$），则f（$\frac{7π}{24}$）等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-2}{2}$

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1，再由题意和周期的定义可得ω=1，可得函数解析式，代值计算可得．

解答 解：化简可得f（x）=2sin²ωx+sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
=1-cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{3}{2}$cos2ωx+1
=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1，
∵对任意实数x都有f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$），
∴f（x+π）=f[（x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{2}$]=f[（x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{2}$]=f（x），
∴函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1的周期为T=$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1
∴函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（$\frac{7π}{24}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$）+1
=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+1=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和求值，属中档题．