Question

15．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得S_n≥2015？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由题意列方程组求出数列的首项和公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）求出数列的前n项和，由S_n≥2015，求得满足条件的n的值，则n的集合可求．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{2}-{S}_{4}={S}_{3}-{S}_{2}}\\{{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=-18}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-{a}_{1}{q}^{2}-{a}_{1}{q}^{3}={a}_{1}{q}^{2}}\\{{a}_{1}q（1+q+{q}^{2}）=-18}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{q=-2}\end{array}\right.$．
故an=3×（-2）n-1；
（2）S_n=$\frac{3[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=1-（-2）ⁿ．
令S_n≥2015，即1-（-2）ⁿ≥2015，
也就是（-2）ⁿ≤-2014．
当n为偶数时，上式不成立；
当n为奇数时，由-2ⁿ≤-2014，得2ⁿ≥2014，
∴n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n，
且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1，k∈N^*，k≥5}．

点评 本题考查了等比数列的前n项和与等比数列的通项公式，考查了数列不等式的解法，是中档题．