Question

5．若A_i（i=1，2，3，…，n）是△AOB所在的平面内的点，且$\overrightarrow{O{A}_{i}}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．给出下列说法：
①|$\overrightarrow{O{A}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{A}_{2}}$|=…=|$\overrightarrow{O{A}_{n}}$|=|$\overrightarrow{OA}$|；
②|$\overrightarrow{O{A}_{i}}$|的最小值一定是|$\overrightarrow{OB}$|；
③点A、A_i在一条直线上．
其中正确的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{O{A}_{i}}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{A{A}_{i}}$$•\overrightarrow{OB}$=0，即可判断出点A、A_i在一条直线上．而|$\overrightarrow{O{A}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{A}_{2}}$|=…=|$\overrightarrow{O{A}_{n}}$|=|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{O{A}_{i}}$|的最小值一定是|$\overrightarrow{OB}$|，不一定正确．

解答 解：∵$\overrightarrow{O{A}_{i}}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
∴$（\overrightarrow{O{A}_{i}}-\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{A{A}_{i}}$$•\overrightarrow{OB}$=0，
因此点A、A_i在一条直线上．而|$\overrightarrow{O{A}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{A}_{2}}$|=…=|$\overrightarrow{O{A}_{n}}$|=|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{O{A}_{i}}$|的最小值一定是|$\overrightarrow{OB}$|，不一定正确．
故只有③正确而①②不正确．
故选：B．

点评 本题考查了向量的数量积与垂直的关系、向量共线定理，考查了推理能力，属于中档题．