Question

17．在ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 选定基向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，将两向量$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$用基向量表示出来，再进行数量积运算，即可求出$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：选定基向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，由图及题意得
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}×2×（-\frac{1}{2}）$$-\frac{2}{3}×{2}^{2}$
=-$\frac{8}{3}$．
故答案为：$-\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．