Question

8．已知函数f（x）=x²+|x+1-a|，其中a为实常数
（Ⅰ）判断f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的单调性
（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x-a|成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值，讨论函数f（x）的单调性，从而得出f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的单调性；
（Ⅱ）求出使不等式f（x）＞2|x-a|对任意x∈R时都成立的a的取值范围，再求使不等式f（x）≤2|x-a|有解的a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+|x+1-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1-a，x≥a-1}\\{{x}^{2}-x-1+a，x＜a-1}\end{array}\right.$，
其中a为实常数；
∴当x≥a-1时，f（x）=x²+x+1-a，它的图象是抛物线的一部分，
对称轴是x=-$\frac{1}{2}$，
若a≤$\frac{1}{2}$，则a-1≤-$\frac{1}{2}$，
∴在x≥-$\frac{1}{2}$时，f（x）是增函数，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上单调递增；
若$\frac{3}{2}$＞a＞$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}$＞a-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[a-1，$\frac{1}{2}$]上是增函数；
当x＜a-1时，f（x）=x²-x-1+a，它的图象是抛物线的一部分，
对称轴是x=$\frac{1}{2}$，
若a≥$\frac{3}{2}$，则a-1≥$\frac{1}{2}$，
∴在x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）是减函数，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上单调递减；
若$\frac{3}{2}$＞a＞$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}$＞a-1＞-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，a-1]上是减函数；
综上，a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函数；
$\frac{3}{2}$＞a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在[a-1，$\frac{1}{2}$]上是增函数，在[-$\frac{1}{2}$，a-1]上是减函数；
a≥$\frac{3}{2}$时，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是减函数；
（Ⅱ）先求使不等式f（x）＞2|x-a|对x∈R恒成立时a的取值范围；
①当x≤a-1时，不等式化为x²-x-1+a＞2（a-x），即x²+x-1＞a，
∴${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$＞a；
若a-1≥$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{1}{2}$，则a＜-$\frac{5}{4}$相矛盾；
若a-1＜-$\frac{1}{2}$，即a＜$\frac{1}{2}$，则a＜（a-1）²+（a-1）-1，即a²-2a-1＞0，
解得a＞1+$\sqrt{2}$或a＜1-$\sqrt{2}$，∴a＜1-$\sqrt{2}$；
②当a-1＜x≤a时，不等式化为x²+x+1-a＞2（a-x），
即x²+3x+1＞3a，∴${（x+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$＞3a；
若a-1＜-$\frac{3}{2}$≤a，即-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$；
若a-1≥-$\frac{3}{2}$，即a≥-$\frac{1}{2}$，
∴3a≤（a-1）²+3（a-1）+1，即a²-2a-1≥0，
解得a≥1+$\sqrt{2}$或a≤1-$\sqrt{2}$；
结合条件及①得，-$\frac{1}{2}$≤a≤1-$\sqrt{2}$；
若a＜-$\frac{3}{2}$，3a＜a²+3a+1恒成立；
综上，a＜1-$\sqrt{2}$；
③当x＞a时，不等式化为x²+x+1-a＞2（x-a），即a²-x+1＞-a；
${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞-a，得-a＜$\frac{3}{4}$，即a＞-$\frac{3}{4}$，
结合②得-$\frac{3}{4}$＜a＜1-$\sqrt{2}$；
∴使不等式f（x）＞2|x-a|对任意x∈R恒成立的a的取值范围是-$\frac{3}{4}$＜a＜1-$\sqrt{2}$，
∴本题所求的a的取值范围是a≥1-$\sqrt{2}$或a≤-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了含有绝对值的函数与不等式的应用问题，解题时应利用转化思想，再讨论函数的性质与解不等式，
是较难的题目．