Question

19．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程
（2）若直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）曲线c的参数方程消去参数α，得到普通方程，然后求出曲线c的极坐标方程．
（2）求出l的直角坐标方程为x+y-1=0，利用圆心到直线的距离，半径半弦长关系求解即可．

解答 解：（1）∵曲线c的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线c的普通方程为（x-2）²+（y-1）²=5，
将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ．…（5分）
即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ，
（2）∵l的直角坐标方程为x+y-1=0，
∴圆心c到直线l的距离为d=$\frac{2}{{\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$∴弦长为2$\sqrt{5-2}$=2$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程与极坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．