Question

20．已知在平面直角坐标系中，点P是直线l：l=-$\frac{1}{2}$上一动点，定点F（$\frac{1}{2}$，0），点Q为PF的中点，动点M满足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{PF}$=0，$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$（λ∈R）．过点M作圆（x-3）²+y²=2的切线，切点分别为S，T，则$\overrightarrow{MS}$•$\overrightarrow{MT}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{35}{9}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由题意结合平面向量的数量积运算求得M在抛物线y²=2x上，则问题转化为过抛物线上一点，作圆（x-3）²+y²=2的切线，切点分别为S，T，求$\overrightarrow{MS}$•$\overrightarrow{MT}$的最小值，然后求出满足条件的点M，代入平面向量数量积求解．

解答 解：如图，设P（$-\frac{1}{2}$，m），
∵F（$\frac{1}{2}$，0），点Q为PF的中点，∴Q（0，$\frac{m}{2}$），
再设M（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{MP}=（-\frac{1}{2}-{x}_{0}，m-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{OF}=（\frac{1}{2}，0）$，
由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，得$（-\frac{1}{2}-{x}_{0}，m-{y}_{0}）=（\frac{1}{2}λ，0）$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-{x}_{0}=\frac{1}{2}λ}\\{m-{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，
∴M（$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ，m$），
则$\overrightarrow{MQ}=（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}λ，-\frac{m}{2}）$，$\overrightarrow{PF}=（1，-m）$．
再由$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{PF}$=0，得$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}λ+\frac{{m}^{2}}{2}=0$，即$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ=\frac{{m}^{2}}{2}$，
∴M（$\frac{{m}^{2}}{2}，m$），则M在抛物线y²=2x上，
设以（3，0）为圆心，以r为半径的圆为（x-3）²+y²=r²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，得x²-4x+9-r²=0．
由△=（-4）²-4（9-r²）=0，解得r²=5．
∴r=$\sqrt{5}$．
则抛物线y²=2x上的点M到圆心距离的最小值为$\sqrt{5}$，切线长的最小值为$\sqrt{3}$，
且sin$∠SMC=\sqrt{\frac{2}{5}}$，cos∠SMT=1-2sin²∠SMC=1-$\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$．
∴$\overrightarrow{MS}$•$\overrightarrow{MT}$的最小值为$|\overrightarrow{MS}|•|\overrightarrow{MT}|•cos∠SMT$=$\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了圆的切线方程，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，综合性较强，是难题．