Question

15．已知数列{a_n}，$\overrightarrow{x}$=（a_n+1，-2），$\overrightarrow{y}$=（1，a_n），且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若满足b_n=13+2log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，可知a_n+1-2a_n=0，再利用a₃+2是a₂与a₄的等差中项，可得a_n=2ⁿ；
（2）由（1）计算出$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n，则b_n=13-2n，从而可得S_n的最大值为b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{x}$=（a_n+1，-2），$\overrightarrow{y}$=（1，a_n），且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，即a_n+1-2a_n=0，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列，
又∵a₃+2是a₂与a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即$2（{2}^{2}{a}_{1}+2）=2{a}_{1}+{2}^{3}{a}_{1}$，解得a₁=2，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，所以$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n，
则b_n=13+2log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=13+2×（-n）=13-2n，
所以数列{b_n}是一个递减数列，
且b₆=13-2×6=1，b₇=13-2×7=-1，
故S_n的最大值为b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=11+9+7+5+3+1
=36．

点评 本题考查平面向量与数列的综合，以及对数的运算公式，属于中档题．