Question

2．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则AD与平面PBC所成角的大小为$\frac{π}{2}$；三棱锥D-ABC的体积为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由线面垂直的性质结合PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，再由已知AC⊥BC，结合线面垂直的判定得到BC⊥平面PAC，由此得到BC⊥AD，再由三视图中给出的量求得AD⊥PC，即得到AD⊥平面PBC，从而求得AD与平面PBC所成角的大小为$\frac{π}{2}$；把三棱锥D-ABC的体积转化为三棱锥B-ADC的体积，结合三视图中的量求得答案．

解答 解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AD．
由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，
∴AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
即AD与平面PBC所成角的大小为$\frac{π}{2}$；
由三视图可得BC=4，
又∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，
∴所求三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$；$\frac{16}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．