Question

【题目】已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线程为6x﹣y+7=0．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】(1) f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

(2) 单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.

【解析】分析：（1）求出导函数，题意说明，，，由此可求得；

（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间.

详解：（1）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．

∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0

∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①，

还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②

由①、②联立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+.

当x<1-,或x>1+时，f'（x）>0；当1-<x<1+时，f'（x）<0.

故f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）