Question

（2009•黄冈模拟）已知函数f（x）=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x) +3sin2(

3π

2

-x)
（Ⅰ）若tan2x=

4

3

，求f（x）的值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式以及二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过tan2x=

4

3

，求出sin2x与cos2x的值，即可求出f（x）的值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，通过（Ⅰ）求出2x+

π

4

的范围，然后求f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x) +3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=1+sin2x+2cos²x
=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)
∵tan2x=

4

3

，所以sin2x=

4

5

，cos2x=

3

5

或sin2x=-

4

5

，cos2x=-

3

5

∴f（x）=

17

5

或

3

5

（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，2+

2

sin(2x+

π

4

)∈[1，2+

2

]
所以f（x）的最大值为2+

2

，最小值为1．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，注意诱导公式同角三角函数以及浪两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．