Question

18．若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• B． [2$\sqrt{2}$，3]
• C． [-2$\sqrt{2}$，3]
• D． λ=3

Answer 1

分析 若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，即“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，2x+$\frac{1}{x}$的最值，可得实数λ的取值范围．

解答 解：若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，
即“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命题，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数取最小值2$\sqrt{2}$，
故实数λ的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$]，
故选：A

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档．