Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）若数列{b_n}是（2）中的等比数列，数列c_n=（n-1）b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求得通项公式；
（2）简化数列{b_n}，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出$\frac{2a}{a-1}+1$=0，解得参数a；
（3）由（2）求出数列{c_n}的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）当n=1时，${S}_{1}=\frac{a}{a-1}{（a}_{1}-1）$，
∴a₁=a，${S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n-1}-1）$，
当n≥2时，S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）且${S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n-1}-1）$，
两式做差化简得：a_n=a•a_n-1
即：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=a$，
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列，
∴${a}_{n}={a}^{n}（a为常数，且a≠0，a≠1）$．
（2）b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1=$（\frac{2a}{a-1}+1）-\frac{2a}{（a-1）{a}^{n}}$，
若数列{b_n}为等比数列，
则$\frac{2a}{a-1}+1$=0，即$a=\frac{1}{3}$．
（3）由（2）知${b_n}={3^n}$，
∴${c}_{n}=（n-1）•{3}^{n}$
∴T_n=0×3+1×3²+2×3³+…+（n-1）3ⁿ    …①
  3T_n=0×3²+1×3³+2×3⁴+…+（n-2）×3ⁿ+（n-1）×3ⁿ⁺¹  …②
①-②得：-2T_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-（n-1）×3ⁿ⁺¹
=$（\frac{3-2n}{2}）×{3}^{n+1}-\frac{9}{2}$
∴${T_n}={3^{n+1}}•\frac{2n-3}{4}+\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前n项和，利用错位相减求前前n项和是关键．