Question

3．已知二次函数f（x）=x²-2ax+1，a∈R；
（1）若函数f（x）在区间（-1，2）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为-2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求解得出对称轴x=a，根据二次函数的性质得出a≤-1或a≥2，即可判断在在区间（-1，2）上是单调函数；
（2）不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，则△=4a²-4＜0，解得即可；
（3）分析函数f（x）=x²-2ax+1的图象和性质，结合函数在区间[1，+∞）的最小值为-2，分类讨论，满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+1的对称轴为x=a，
∵f（x）在区间（-1，2）上是单调函数，
∴a≤-1或a≥2，
故a的取值范围为（-∞，-1]∪[2，+∞），
（2）∵不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，
∴△=4a²-4＜0，
解得-1＜a＜1，
故a的取值范围为（-1，1），
（3）：二次函数f（x）=x²-2ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
当a≤1时，函数在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时函数取最小值2-2a=-2，解得a=2，舍去，
当a＞1时，函数在区间[1，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，
当x=a时函数取最小值-a²+1=-2，解得：a=$\sqrt{3}$，或a=-$\sqrt{3}$（舍去），
综上所述，a=$\sqrt{3}$．

点评 本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于中档题．