Question

8．若函数f（x）=log_a（$\frac{{x}^{2}+a}{x}$）有最小值1，则a等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 运用基本不等式可得$\frac{{x}^{2}+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，当且仅当x=$\sqrt{a}$取得最小值．再由对数函数的单调性可得log_a2$\sqrt{a}$=1，解方程可得a=4．

解答 解：由于x＞0，a＞0，
则$\frac{{x}^{2}+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，
当且仅当x=$\sqrt{a}$取得最小值．
由题意结合对数函数的单调性可得a＞1，
由最小值为1，
可得log_a2$\sqrt{a}$=1，
即为a=2$\sqrt{a}$，
解得a=4．
故选：D．

点评 本题考查对数函数的单调性的运用，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．