Question

16．已知函数f（x）=（a-x）e^x+1，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明函数f（x）只有一个零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）通过讨论①当x＜a-1时，函数f（x）没有零点，②当x＞a-1时，在区间（a-1，a+1）上函数f（x）有一个零点；结合函数的单调性，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-e^x+（a-x）e^x=e^x（-x+a-1）．（2分）
令f′（x）=e^x（-x+a-1）=0，解得x=a-1．（4分）
因为x∈（-∞，a-1）时，f′（x）＞0，x∈（a-1，+∞）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，a-1），减区间是（a-1，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（a-1）是极大值，也是最大值．
且f（a-1）=e^a-1+1＞0．（8分）
①当x＜a-1时，因为a-x＞0，e^x＞0，
所以f（x）在（-∞，a-1）上恒为正数，函数f（x）没有零点；（10分）
②当x＞a-1时，取x=a+1，则f（a+1）=-e^a+1+1，
因为a＞0，所以e^a+1＞e，-e^a+1＜-e，
从而f（a+1）=-e^a+1+1＜0．（11分）
由零点存在定理可知，在区间（a-1，a+1）上函数f（x）有一个零点；（12分）
因为（a-1，+∞）是f（x）的减区间，所以f（x）零点只有一个．（13分）
综上，函数f（x）零点只有一个．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，是一道中档题．