Question

8．已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（2x），若g（x）=sinπx，则函数y=f（x）与y=g（x）图象公共点的个数为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 先求出g（x）的周期，并知道f（5）=1，从而x＞5时，f（x）和g（x）便没有公共点了，这样画出f（x），g（x）在x正半轴的图象，由图象便可看出在x正半轴f（x），g（x）的公共点个数，根据f（x），g（x）都关于原点对称，从而在x负半轴f（x），g（x）公共点个数等于在正半轴的公共点个数，并容易看出原点是f（x），g（x）的公共点，这样即可得出f（x），g（x）图象的公共点个数．

解答 解：g（x）的周期为2，且x=5时，f（5）=1，x=$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）=0；
∴画出x＞0时f（x）和g（x）的图象：
由图象可看出x＞0时，f（x）与g（x）的图象有5个公共点；
据f（x），g（x）都为奇函数，
∴f（x），g（x）的图象都关于原点O对称；
∴x＞0时f（x），g（x）的5个公共点关于原点的对称点便是x负半轴的f（x），g（x）图象的公共点；
又（0，0）∈f（x），（0，0）∈g（x），即原点是f（x），g（x）的公共点；
∴函数y=f（x）与y=g（x）图象公共点的个数为11．
故选D．

点评 考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式及其值域，数形结合解题的方法，奇函数图象的对称性，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0．