Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），T_n是数列{b_n}的前n项和，求T₉．

Answer 1

分析 （1）利用n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n，
∴n=1时，a₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T₉=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）]=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{9}{40}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．