Question

13．已知数列{a_n}是等差数列，若a₃+a₁₁=30，a₄=9．
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，且b_n=$\frac{1}{S_n}$，证明：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得a_n；
（2）求得S_n，运用裂项相消求和求得{b_n}的前n项和，即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则a₁+2d+a₁+10d=30，a₁+3d=9，
解得a₁=3，d=2，
则a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）S_n=$\frac{1}{2}$（3+2n+1）n=n²+2n，
即有b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．