Question

2．海南省椰树集团引进德国净水设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（千元）的几组统计数据如表：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出$\widehaty$关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\hat b$x+$\hat a$；
（Ⅱ）我们把中（Ⅰ）的线性回归方程记作模型一，观察散点图发现该组数据也可以用函数模型$\widehaty$=c₁ln（c₂x）拟合，记作模型二．经计算模型二的相关指数R²=0.64，
①请说明R²=0.64这一数据在线性回归模型中的实际意义．
②计算模型一中的R²的值（精确到0.01），通过数据说明，两种模型中哪种模型的拟合效果好．
参考公式和数值：用最小工乘法求线性回归方程系数公式$\widehatb$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb\overline x$．R²=1-$\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}$，$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}$=0.651，（2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先做出两组数据的平均数，把平均数和条件中所给的两组数据代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，写出回归直线的方程．
（Ⅱ） ①R²=0.64表明“净水设备的使用年限解释了64%的维修费用的变化”，或者说“净水设备的维修费用
的差异有64%是由净水设备的使用年限引起的”
②R²取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2=}4+9+16+25+36=90$，且$\overline x=4，\overline y=5，n=5$，∴$\hat b=\frac{112.3-5×4×5}{90-5×16}=\frac{12.3}{10}=1.23$$\hat a=5-1.23×4=0.08$
∴回归直线为$\widehaty=1.23x+0.08$．
（Ⅱ） ①R²=0.64表明“净水设备的使用年限解释了64%的维修费用的变化”，或者说“净水设备的维修费用
的差异有64%是由净水设备的使用年限引起的”
②$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}=0.651$，$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=15.78$，${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}$=0.96R²
取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．
由于模型一中的相关指数R²=0.96大于0.64，说明模型一的拟合效果好．

点评 本题考查线性回归方程的求解和应用，是一个中档题，解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数．