Question

已知函数f（x）=x³-3a|x-1|，
（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．

Answer 1

分析：（1）通过举反例说明当a=1时，f（x）非奇非偶．
（2）利用绝对值的意义分段讨论去掉绝对值符号将f（x）转化为分段函数；分别通过导数求两段的最小值；比较两段的最小值，挑出最小值为f（x）d的最小值．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3|x-1|，（2分）
此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x³-3a（1-x）=x³+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x³-3a（x-1）=x³-3ax+3a
∴f(x)=

x3+3ax-3a  (0≤x＜1)&  x3-3ax+3a  (x≥1)&

，（7分）
（i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x²+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]_min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-

a

)(x+

a

)，
令f'（x）=0，可得两极值点x=-

a

或x=

a

，
①若0＜a≤1，则

a

≤1，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]_min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则

a

＞1，可得f（x）在[1，

a

)内单调递减，(

a

，+∞)内单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f(

a

)=(

a

)3-3a

a

+3a=-2a

a

+3a，
此时[f(x)]min=min{f(0)，f(

a

)}
而f(

a

)-f(0)=-2a

a

+3a-(-3a)=-2a

a

+6a=-2a(

a

-3)
可得1＜a≤9时，f(

a

)≥f(0)，a＞9时，f(

a

)＜f(0)（14分）
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]_min=f（0）=-3a，
当a＞9时，[f(x)]min=f(

a

)=-2a

a

+3a（15分）

点评：本题考查通过举反例说明一个命题不成立的方法、考查通过绝对值的意义去绝对值符号、考查分段函数的最值分段求，比较出各段的最值、考查利用导数求函数的最值、考查分类讨论的数学思想方法．